Gauss Yasası Nedir?

Elektrik yükünü ve elektrik akısı kavramını da analiz eden Gauss yasası, ilk olarak 1773 yılında J. Louis Lagrange tarafından dile getirilmiştir. Fakat Gauss tarafından formüle edilmiştir.

Gauss Yasası, herhangi bir kapalı yüzey için geçerli olan genel bir yasadır. Kapalı elektrik yükünün miktarının değerlendirilmesine izin verdiği için önemli bir araçtır. Yük dağılımının dışındaki bir yüzeyde alanın haritalamasını yapar. Yeterli simetriye sahip geometriler için elektrik alanının hesaplanmasını kolaylaştırır.

Gauss yasası birimleri aşağıdaki gibidir:

Φ = Q/ϵ₀

Q: Kapalı elektrik yüküdür.

ε₀: Boş alanın elektrik geçirgenliğidir.

Φ: Elektrik akısı

Gauss teoremine göre, kapalı bir yüzeydeki toplam yük, yüzeyin çevrelediği toplam akı ile orantılıdır. Bu nedenle, ϕ toplam akı ve ϵ₀ elektrik sabiti ise, yüzey tarafından çevrelenen toplam elektrik yükü Q olmak üzere Gauss Yasası formülü aşağıdaki gibidir:

Q = ϕ ϵ₀ya da ϕ = Q/ϵ₀

Örnek: 3,5 cm yarıçaplı yarım küre toplam 6.6 x 10-6 C yük içerir. Yüzeyin yuvarlak kısmından geçen akı 9.8 x 104 C'dir. Yarım kürenin düz tabanından geçen akı nedir?
(ϵ₀ = 8.854 x 10-12)

Çözüm: Φ = ΦE,r +ΦE,b

Q= 6.6 x 10-6 ve ϵ₀ = 8.854 x 10-12 olmak üzere:

9.8 x 104 + ΦE,b = (6.6 x 10-7) / (8.854 x 10-12)

ΦE,b = -2.34 Nm2/C

Gauss Yasası, vektör hesabı kullanılarak hesaplama şekillerine göre integral formda ve diferansiyel formda olmak üzere ikiye ayrılarak matematiksel olarak ifade edilebilir. Her ikisi de Gauss teoremi olarak da adlandırılan diverjans teoremi ile ilişkili oldukları için eşdeğerdir.

Gauss yasasının integral formu, tümlev formu ile aynıdır.

Gauss yasası integral formda aşağıda verilmiştir:

∫V∇⋅edv= ∮Se⋅n.da= Q/ ε₀

E: elektrik alanı.

Q: kapalı elektrik yüküdür.

ε₀: boş alanın elektrik geçirgenliğidir.

n: dışa dönük birim-normaldir.

Akı, bir yüzeyden geçen bir alanın gücünün bir ölçüsüdür. Elektrik akısı genel olarak şu şekilde tanımlanır:

Φ= ∫Se⋅n.da

Elektrik alanını akı yoğunluğu olarak düşünebiliriz. Gauss yasası bize, herhangi bir kapalı yüzeyden geçen net elektrik akısının, o yüzey tarafından sınırlanan hacim net bir yük içermedikçe sıfır olduğunu söyler.

Gauss yasasının diferansiyel formu, uzayda herhangi bir noktada E elektrik alanının diverjansının, o noktadaki hacim yük yoğunluğunun, ρ(1/ε₀) katına eşit olduğunu belirtir.

Formülü şu şekildedir:

∇E= ρ/ε₀

Burada ρ, hacimsel yük yoğunluğu yani birim hacim başına düşen yükü ifade eder.

ε₀ise boş alanın geçirgenliğidir.

Elektrik-manyetik alan denklemlerinde dört denklem bulunmaktadır. Bunlardan ikisi, eğer Gauss yasasında olan elektrik yüklerinden kaynaklanan elektrik alanları ve Gauss’un manyetizma yasasının manyetik tek kutuplularına bağlı olmadan alan çizgilerine yakın oluşan manyetik alan var ise, kaynağa göre uzay içinde bu alanların nasıl değiştiğini açıklamaktadır. Diğer iki tanesi de Faraday yasasındaki, zamanla değişen manyetik alanların etrafında dolaşan elektrik alanları sırasında Maxwell doğrulaması ile olan Ampere yasasındaki elektrik akımı ve zamanla değişen elektrik alanları etrafında dolaşan manyetik alanın oluşturmuş olduğu kişisel kaynakların çevresinde alanların nasıl dolandığını açıklamaktadır.

Maxwell eşitliğinin kesinliği, içerdiği büyüklüklerin ne kadar kesin tanımlandığına bağlıdır. Kurallar birim sistemine göre değişmektedir. Çünkü ışık hızı gibi boyutsuz çarpanlar tarafından emilerek çeşitli tanımları ve boyutları değişebilmektedir.

Gauss Yasası matematik için oldukça önemlidir. Alman matematikçi Carl Friedrich Gauss tarafından bulunan Gauss yasası, matematiksel çözümlemeyi kolaylaştırmak için kullanılır. Gauss yasası sayesinde hesaplamaları yapmak daha da kolaylaşmış ve matematikte çığır açmıştır.

Elektrik akısı, belirli bir alandan geçen elektrik alanının, alana dik bir düzlemde yüzey alanı ile çarpımı olarak tanımlanır. Gauss yasasının bir başka ifadesi, sunulan bir yüzey boyunca sunulan bir elektrik alanının net akısının, kapalı yüke bölünmesinin bir sabite eşit olması gerektiğini belirtir. Normalde, pozitif bir elektrik yükünün pozitif bir elektrik alanı oluşturması beklenir.

Elektrik akısı (dFE), elektrik alanının akısıdır. Elektrik akısı, belirli bir alandan geçen elektrik alanının, alana dik bir düzlemde yüzey alanı ile çarpımı olarak ifade edilir. Bir yüzeyden geçen elektrik alan çizgilerinin sayısıyla doğru orantılıdır. Elektrik akısı ve Gauss yasası ilişkisi aşağıdaki gibidir:

• Gauss yasasına göre kapalı bir yüzeyden geçen net elektrik akısı, yüzey alanından bağımsızdır.
• Gauss yasasına göre elektrik akısı sadece alanın çevrelediği yükle orantılıdır.

Çok küçük bir dA alanındaki elektrik akısı dFE aşağıdaki gibidir:

dFE = E.dA

• E, yüzeye dik olan elektrik alanıdır. Bir S yüzeyinden geçen elektrik akısı dA alanlarının toplanmasıyla elde edilir:

FE = ∫s E.dA

• dA, büyüklüğü yüzeyin alanına eşit ve yönü yüzeye dik olan vektördür.

FE = E.A.cos(q)

• q, yüzeyle elektrik alanı arasındaki açıdır.

dFE = ∮s E dA = QS / e₀

QS kapalı yüzeyin içinde kalan net yük, ε₀ boşluğun yalıtkanlık sabitidir. Bu yasa klasik elektromanyetizmayı açıklayan Maxwell denkleminden biridir.

Elektrik akımı elektrik akısından farklıdır.

Gauss yasası, elektrik yükü ile elektrik alan arasındaki ilişkiden doğmuştur. Yasa 1835’te Carl Friedrich Gauss tarafından oluşturulup 1867 yılına kadar yayınlanmamıştır.

Gauss Yasası, elektrik alanı düzgün hacim yük yoğunluğunun sonsuz silindiri kullanılarak elde edilebilir. Gauss yasası r > R yarıçaplı bir silindir şeklindeki Gauss yüzeyi için göz önüne alındığında, elektrik alanı silindirin her noktasında aynı büyüklüğe sahiptir ve dışa doğru yönlendirilir. Elektrik akısı da aynı şekilde silindirin alanı ile elektrik alan büyüklüğü çarpımıdır.

Manyetizma için Gauss yasası elektrik yükleriyle kıyas edilebilen manyetik yükün (manyetik tek kutuplu da denilir.) bulunmadığını ifade etmektedir. Maddeye göre manyetik alan, çift kutup denilen yapılardan oluşmuştur. Manyetik çift kutuplar en iyi akım döngüleri olarak tanımlanmaktadır, fakat net bir manyetik yüke sahip olmayan ayrılmaz bir şekilde birbirine bağlı olan pozitif ve negatif manyetik yüklere benzerler. Alan çizgilerine göre, bu eşitlik manyetik alan çizgilerinin ne başlayıp ne de bittiğini fakat döngü oluşturduğunu ya da sonsuzluğa ve geriye doğru genişlediğini belirtmektedir. Diğer bir deyişle, belirli bir hacim içine girmiş herhangi bir manyetik alan çizgisi, o hacmin herhangi bir yerinden çıkmak zorundadır. Herhangi bir Gauss yüzeyi boyunca toplam manyetik akının sıfır olduğu ya da manyetik alanın sarmal bobin gibi hareket eden alanların eşdeğer teknik açıklamalarıdır.

Hareketli (iletken) bir yüzeye yakın elektrik alanın doğasını incelemek Gauss yasası için önemli bir uygulamadır. Yüzeye dik olarak yönlendirilmiş silindirik bir Gauss yüzeyi göz önüne alındığında, elektrik akısına tek katkının Gauss yüzeyinin üstünden geldiği görülebilir. İletkenin dengede olduğu gerçeği bu problemde önemli bir kısıtlamadır. Bu durum alanın yüzeye dik olduğunu gösterir, aksi takdirde yüzeye paralel bir kuvvet uygular ve yük hareketi oluşturur. Aynı şekilde, iletkenin iç kısmındaki alanın sıfır olduğunu da gösterir. Çünkü aksi halde şarj hareket halinde olacağından dengede bulunamayacaktır.

Gauss yasası, başlıca fizik ve matematiksel çözümleme alanlarında kullanılan bir yasadır. Elektrik bağlamında, kapalı bir yüzeyin dışına akan elektriksel akı ile, yüzey içerisinde kalan elektriksel yük arasındaki bağıntıyı tanımlar. Gauss yasası elektrik ile sınırlı kalmayıp ters kare yasasının etkin olduğu her duruma uygulanabilir.